机器学习与因果推断 - 第五讲：工具变量法

处理未观测混淆变量的识别策略：完整讲义

作者

单位

陈志远

中国人民大学商学院

发布于

2026年3月30日

1 引言：当匹配法失效时

1.1 匹配法的局限

匹配法的核心假设是条件可忽略性：

$D \perp \{Y(0), Y(1)\} | X$

这要求所有混淆变量都被观测到。但在实践中，许多重要因素无法观测：

能力：认知能力、非认知能力
动机：求职动机、学习动机
偏好：风险偏好、时间偏好
信息：信息获取渠道、网络资源

当存在未观测混淆变量时，匹配法无法消除选择偏差。

1.2 内生性问题的来源

在回归框架下，内生性意味着处理变量与误差项相关：

$Y = \alpha + \beta D + \varepsilon, \quad Cov(D, \varepsilon) \neq 0$

造成内生性的三个主要原因：

遗漏变量：未观测的混淆因素同时影响 $D$ 和 $Y$
双向因果： $Y$ 和 $D$ 互相影响（ simultaneity）
测量误差： $D$ 被错误测量，导致衰减偏误

1.3 工具变量的启示

核心问题：当 $D$ 与 $\varepsilon$ 相关时，OLS 估计有偏且不一致。我们需要一种方法，能够利用 $D$ 中与 $\varepsilon$ 无关的变异部分。

工具变量法的洞察：

找到一个变量 $Z$ ，它：

与 $D$ 相关（提供变异）
与 $\varepsilon$ 不相关（外生性）
只通过 $D$ 影响 $Y$ （排他性）

这样的 $Z$ 提供了 $D$ 中”干净”的变异，使我们能够识别因果效应。

2 工具变量的两个条件

2.1 条件一：相关性（Relevance）

定义：工具变量 $Z$ 必须与处理变量 $D$ 相关。

$Cov(Z, D) \neq 0$

这保证了 $Z$ 能够产生足够的变异来”撬动” $D$ 。

2.1.1 第一阶段回归

相关性条件可以通过第一阶段回归来检验：

$D_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \nu_i$

其中 $\pi_1$ 是第一阶段系数。我们需要 $\pi_1 \neq 0$ 。

2.1.2 F统计量检验

Stock & Yogo (2005) 提出使用第一阶段F统计量检验工具变量强度：

$F = \frac{(R^2_{first}/k)}{(1-R^2_{first})/(n-k-1)}$

经验法则： $F > 10$ 表示工具变量足够强。

2.2 条件二：排他性（Exclusion Restriction）

定义：工具变量 $Z$ 必须满足：

$Cov(Z, \varepsilon) = 0$

这意味着 $Z$ 只通过 $D$ 影响 $Y$ ，没有其他直接或间接路径。

2.2.1 排他性的直观理解

排他性约束要求 $Z$ 是一个”奇怪”的变量——它与结果 $Y$ 相关，但仅仅是因为它影响了处理 $D$ 。

例子：

出生季度影响教育年数（通过义务教育法），但不直接影响收入
到大学的距离影响上学决策，但不直接影响收入能力
抽签号码影响是否入伍，但不直接影响未来收入

2.2.2 排他性无法直接检验

重要警告

排他性是一个基于理论和领域知识的假设，无法直接用数据检验。研究者需要论证为什么 $Z$ 满足排他性。

可能的威胁： - $Z$ 通过其他变量影响 $Y$ （违反排他性） - $Z$ 与未观测混淆变量相关（违反外生性）

2.3 工具变量的因果图

Z ──→ D ──→ Y
      ↑     ↑
      └─────┘
          U (未观测混淆)

在这个图中：

$U$ 是未观测混淆变量，造成 $D$ 和 $Y$ 的内生关联
$Z$ 提供了一个外生变异，绕过 $U$ 的影响
$Z$ 只影响 $Y$ 通过 $D$ （没有其他路径）

关键洞察：工具变量 $Z$ 提供的变异与 $U$ 无关，因此使用 $Z$ 诱导的变异可以消除选择偏差。

3 两阶段最小二乘法（2SLS）

3.1 2SLS的直观理解

基本思想：

第一阶段：用 $Z$ 预测 $D$ ，得到 $D$ 中由 $Z$ 解释的部分 $\hat{D}$
第二阶段：用预测的 $\hat{D}$ 代替 $D$ 估计对 $Y$ 的效应

为什么这样可行？

$\hat{D}$ 只包含 $D$ 中与 $Z$ 相关的变异
由于 $Z$ 是外生的， $\hat{D}$ 也是外生的
用 $\hat{D}$ 估计的效应没有内生性偏误

3.2 2SLS的数学推导

3.2.1 第一阶段

$D_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \nu_i$

得到拟合值： $\hat{D}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i$

3.2.2 第二阶段

$Y_i = \alpha + \beta \hat{D}_i + \varepsilon_i$

3.2.3 IV估计量的等价形式

可以证明，2SLS估计量等价于Wald估计量：

$\hat{\beta}_{IV} = \frac{Cov(Y, Z)}{Cov(D, Z)} = \frac{\text{简约式效应}}{\text{第一阶段效应}}$

这个公式揭示了IV估计的直观含义：

分子 ( $Cov(Y, Z)$ )： $Z$ 对 $Y$ 的总效应（简约式）
分母 ( $Cov(D, Z)$ )： $Z$ 对 $D$ 的效应（第一阶段）
比值： $D$ 对 $Y$ 的因果效应

3.3 2SLS估计量的一致性

在工具变量相关性和排他性条件下：

$\hat{\beta}_{IV} \xrightarrow{p} \beta$

证明概要：

$\begin{aligned} \hat{\beta}_{IV} &= \frac{Cov(Y, Z)}{Cov(D, Z)} \\ &= \frac{Cov(\alpha + \beta D + \varepsilon, Z)}{Cov(D, Z)} \\ &= \beta + \frac{Cov(\varepsilon, Z)}{Cov(D, Z)} \end{aligned}$

由于 $Cov(Z, \varepsilon) = 0$ （排他性），第二项趋于零，因此 $\hat{\beta}_{IV} \to \beta$ 。

3.4 2SLS与OLS的关系

重要性质：当 $Cov(D, \varepsilon) > 0$ （正的选择偏差）时：

OLS 估计： $\hat{\beta}_{OLS} = \beta + \frac{Cov(D, \varepsilon)}{Var(D)} > \beta$
2SLS 估计： $\hat{\beta}_{IV} \to \beta$ （一致）

这意味着在有正选择偏差的情况下，OLS 会高估处理效应，而2SLS提供了一致的估计。

4 弱工具变量问题

4.1 什么是弱工具变量？

定义：当工具变量 $Z$ 与处理变量 $D$ 的相关性很弱时，即：

$Cov(Z, D) \approx 0$

或第一阶段F统计量很小（ $F < 10$ ）。

4.2 弱工具变量的后果

4.2.1 1. 方差增大

IV估计量的方差为：

$Var(\hat{\beta}_{IV}) = \frac{\sigma^2_\varepsilon}{n \cdot Cov(D, Z)^2 / Var(Z)}$

当 $Cov(Z, D) \to 0$ 时， $Var(\hat{\beta}_{IV}) \to \infty$ 。

4.2.2 2. 偏差严重

Bound, Jaeger & Baker (1995) 证明：

$E[\hat{\beta}_{2SLS} - \beta] \approx \frac{\sigma_{\varepsilon\nu}}{\sigma_{\nu}^2} \cdot \frac{1}{F + 1}$

当 $F \to 0$ 时，偏差趋近于 OLS 偏差！

4.2.3 3. 分布非正态

弱工具变量下，2SLS估计量的抽样分布不再是正态分布，基于正态分布的假设检验失效。

4.3 弱工具变量的识别与应对

4.3.1 识别弱工具变量

经验法则 (Stock & Yogo, 2005)：

F统计量	解释
$F < 10$	弱工具变量警告
$F \geq 10$	工具变量强度可接受
$F \geq 104.7$	最大相对偏差 ≤ 10%（1个工具变量）

4.3.2 应对策略

寻找更强的工具变量
使用弱工具变量稳健方法：
- Anderson-Rubin 检验
- Kleibergen-Paap 统计量
- 条件似然比（CLR）检验
使用LIML（Limited Information Maximum Likelihood）：比2SLS更稳健
增加样本量：提高统计功效

5 局部平均处理效应（LATE）

5.1 异质性处理效应框架

当处理效应在不同个体间存在异质性时，我们需要扩展潜在结果框架。

定义潜在处理变量：

$D_i(1)$ ：当 $Z_i = 1$ 时个体 $i$ 的处理状态
$D_i(0)$ ：当 $Z_i = 0$ 时个体 $i$ 的处理状态

四种个体类型 (Imbens & Angrist, 1994)：

类型	定义	$D_i(1)$	$D_i(0)$	描述
Always-takers	总是接受处理	1	1	无论工具变量如何都接受处理
Never-takers	从不接受处理	0	0	无论工具变量如何都不接受处理
Compliers	依从者	1	0	工具变量=1时接受，工具变量=0时不接受
Defiers	违背者	0	1	工具变量=1时不接受，工具变量=0时接受

5.2 LATE的定义

局部平均处理效应 (LATE)

IV估计量识别的是依从者（Compliers）的平均处理效应：

$\tau_{LATE} = E[Y_i(1) - Y_i(0) | D_i(1) = 1, D_i(0) = 0]$

关键洞察：

IV估计的不是总体的ATE，而是特定子群体（Compliers）的效应
对于Always-takers和Never-takers，我们无法识别其处理效应
如果存在Defiers，LATE的解释更复杂（需要单调性假设）

5.3 LATE识别的五个假设

SUTVA：没有溢出效应，潜在结果定义良好
随机分配： $Z$ 与潜在结果独立
排他性： $Z$ 只通过 $D$ 影响 $Y$
第一阶段： $E[D(1) - D(0)] \neq 0$
单调性： $D_i(1) \geq D_i(0)$ （没有Defiers）

单调性的重要性：

确保Compliers的定义明确
排除Defiers的存在（否则LATE公式失效）
在大多数应用中，单调性是合理的

5.4 LATE的直观例子

Angrist & Krueger (1991)：出生季度对教育的影响

工具变量：出生季度（由于义务教育法，不同季度出生的人上学年数不同）
Compliers：那些因为出生季度而多上一年学的人
LATE：这些Compliers的教育回报

重要局限

“IV估计的是那些因为出生季度而多上一年学的人的效应”——不是对所有人的效应。

Compliers可能是教育回报最高或最低的人，我们无法确定。

6 经典案例与应用

6.1 案例一：Angrist & Krueger (1991)

研究问题：教育的因果回报是多少？

工具变量：出生季度

美国义务教育法要求学生在特定年龄入学
不同季度出生的孩子在入学时年龄不同
这导致不同季度出生的人平均教育年数略有差异
出生季度与能力、动机等无关（排他性）

主要发现：

OLS估计：约7.1%
2SLS估计：约8.9%

解读：教育回报略高于OLS估计，可能说明OLS低估了教育回报（能力偏差为负），或者Compliers的教育回报确实更高。

6.2 案例二：Card (1995) - 到大学的距离

研究设计：

工具变量：到最近大学的距离
结果：大学毕业生收入更高
发现：2SLS估计约12.4%，高于OLS的7.1%

为什么距离是好的工具变量？

相关性：地理距离影响上学成本（时间、金钱）
排他性：距离本身不直接影响收入（只通过教育）

LATE解释：估计的是那些因为离家近而上大学的人的效应。

6.3 案例三：Angrist (1990) - 越南战争抽签

研究设计：

背景：越南战争期间，美国通过抽签决定谁入伍
工具变量：抽签号码（随机分配）
处理变量：是否服兵役
结果变量：后来的收入

为什么抽签是好的工具变量？

相关性：低号码更可能被征召入伍
排他性：抽签号码完全随机，与能力、健康等无关

发现：服兵役导致收入下降约15%。

6.4 案例四：Cunningham & Finlay (2012)

研究问题：甲基苯丙胺（冰毒）使用对寄养儿童数量的影响

工具变量：甲基苯丙胺前体化学品的价格冲击

发现：

冰毒入院率增加10% → 寄养儿童数量增加约15%
说明药物滥用对家庭破裂有显著因果效应

7 Python实现：2SLS估计

7.1 基础模拟：工具变量有效性

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from linearmodels.iv import IV2SLS
import matplotlib.pyplot as plt
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Source Han Sans SC', 'Noto Sans CJK SC',
                                    'WenQuanYi Micro Hei', 'SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 设置随机种子
np.random.seed(42)
n = 1000

# 生成数据：D是内生的，Z是工具变量
Z = np.random.normal(0, 1, n)  # 工具变量（外生）
U = np.random.normal(0, 1, n)  # 未观测混淆变量

# 第一阶段：D受Z和U影响
D = 0.5 * Z + 0.8 * U + np.random.normal(0, 0.5, n)

# 真实因果效应
true_effect = 2.0

# 结果变量：Y受D和U影响（U造成内生性）
Y = true_effect * D + 1.5 * U + np.random.normal(0, 0.5, n)

# 创建数据框
data = pd.DataFrame({
    'Y': Y,
    'D': D,
    'Z': Z,
    'U': U  # 现实中不可观测
})

print(f"样本量: {n}")
print(f"真实处理效应: {true_effect}")

7.2 OLS vs 2SLS比较

# OLS估计（有偏，因为忽略了U）
X_ols = sm.add_constant(data['D'])
model_ols = sm.OLS(data['Y'], X_ols).fit()
ols_est = model_ols.params['D']

# 2SLS估计（使用Z作为工具变量）
# 注意：linearmodels需要显式添加常数项
iv_model = IV2SLS(
    dependent=data['Y'],
    exog=pd.DataFrame({'const': np.ones(n)}),
    endog=data['D'],
    instruments=data['Z']
).fit()
iv_est = iv_model.params['D']

# 手动计算2SLS（验证）
# 第一阶段
X_first = sm.add_constant(data['Z'])
model_first = sm.OLS(data['D'], X_first).fit()
data['D_hat'] = model_first.predict(X_first)

# 第二阶段
X_second = sm.add_constant(data['D_hat'])
model_second = sm.OLS(data['Y'], X_second).fit()
iv_est_manual = model_second.params['D_hat']

print("\n估计结果对比:")
print("=" * 50)
print(f"真实效应:    {true_effect:.3f}")
print(f"OLS估计:     {ols_est:.3f}  (偏差: {ols_est - true_effect:.3f})")
print(f"2SLS估计:    {iv_est:.3f}  (偏差: {iv_est - true_effect:.3f})")
print(f"手动2SLS:    {iv_est_manual:.3f}  (偏差: {iv_est_manual - true_effect:.3f})")
print("=" * 50)

7.3 第一阶段诊断

# 第一阶段回归结果
print("\n第一阶段回归结果:")
print("=" * 50)
print(f"Z的系数: {model_first.params['Z']:.4f}")
print(f"标准误:   {model_first.bse['Z']:.4f}")
print(f"t统计量: {model_first.tvalues['Z']:.4f}")
print(f"R-squared: {model_first.rsquared:.4f}")

# 计算F统计量
f_stat = (model_first.params['Z'] / model_first.bse['Z']) ** 2
print(f"F统计量: {f_stat:.2f}")

if f_stat > 10:
    print("✓ 工具变量强度足够 (F > 10)")
else:
    print("⚠ 弱工具变量警告 (F ≤ 10)")

7.4 弱工具变量模拟

# 模拟不同工具变量强度下的表现
np.random.seed(42)
n = 500
results = []

for pi1 in [0.05, 0.1, 0.3, 0.5, 1.0]:  # 不同的第一阶段系数
    temp_results = {'pi1': pi1, 'f_stats': [], 'iv_biases': [], 'ols_biases': []}

    for _ in range(200):  # 200次模拟
        Z = np.random.normal(0, 1, n)
        U = np.random.normal(0, 1, n)
        D = pi1 * Z + 0.8 * U + np.random.normal(0, 0.5, n)
        Y = 2.0 * D + 1.5 * U + np.random.normal(0, 0.5, n)

        # OLS
        X_ols = sm.add_constant(D)
        ols_est = sm.OLS(Y, X_ols).fit().params[1]

        # IV
        X_first = sm.add_constant(Z)
        first_stage = sm.OLS(D, X_first).fit()
        f_stat = (first_stage.params[1] / first_stage.bse[1]) ** 2

        D_hat = first_stage.predict(X_first)
        X_second = sm.add_constant(D_hat)
        iv_est = sm.OLS(Y, X_second).fit().params[1]

        temp_results['f_stats'].append(f_stat)
        temp_results['iv_biases'].append(iv_est - 2.0)
        temp_results['ols_biases'].append(ols_est - 2.0)

    results.append({
        '第一阶段系数': pi1,
        '平均F统计量': np.mean(temp_results['f_stats']),
        'IV平均偏差': np.mean(temp_results['iv_biases']),
        'OLS平均偏差': np.mean(temp_results['ols_biases'])
    })

results_df = pd.DataFrame(results)
print("\n弱工具变量模拟结果:")
print("=" * 70)
print(results_df.to_string(index=False, float_format='%.3f'))

7.5 Angrist & Krueger (1991)模拟

# 改进的Angrist & Krueger (1991)模拟
np.random.seed(42)
n = 5000

# 出生季度（1-4，均匀分布）
quarter = np.random.choice([1, 2, 3, 4], n)

# 能力（不可观测，与教育相关）
ability = np.random.normal(0, 1, n)

# 教育年数：受出生季度和能力影响
# 义务教育法导致不同季度出生的人教育年数有系统性差异
# 第四季度出生的人入学时年龄较小，被迫多上一年学
# 第一季度出生的人入学时年龄较大，可以早一年退学
quarter_effect = np.where(quarter == 1, -0.3,
                 np.where(quarter == 4, 0.3, 0))
education = 12 + quarter_effect + 0.4 * ability + np.random.normal(0, 1.0, n)

# 真实教育回报（对数收入）
true_return = 0.08

# 对数收入（周收入）
log_earnings = 5 + true_return * education + 0.15 * ability + np.random.normal(0, 0.35, n)

# 创建数据
ak_data = pd.DataFrame({
    'log_earnings': log_earnings,
    'education': education,
    'quarter': quarter,
    'ability': ability  # 现实中不可观测
})

print("Angrist & Krueger (1991)模拟数据:")
print("=" * 50)
print(f"样本量: {n}")
print(f"各季度样本量:")
print(ak_data['quarter'].value_counts().sort_index())
print(f"\n平均教育年数（按季度）:")
print(ak_data.groupby('quarter')['education'].mean().round(3))

# OLS估计
X_ols = sm.add_constant(ak_data['education'])
ols_model = sm.OLS(ak_data['log_earnings'], X_ols).fit()
ols_return = ols_model.params['education']

# 2SLS估计（使用出生季度作为工具变量）
# 创建季度虚拟变量
quarter_dummies = pd.get_dummies(ak_data['quarter'], prefix='q', drop_first=True)
ak_data = pd.concat([ak_data, quarter_dummies], axis=1)

# 使用linearmodels（显式添加常数项）
iv_model = IV2SLS(
    dependent=ak_data['log_earnings'],
    exog=pd.DataFrame({'const': np.ones(n)}),
    endog=ak_data['education'],
    instruments=ak_data[['q_2', 'q_3', 'q_4']]
).fit()

# 第一阶段结果
X_first = sm.add_constant(ak_data[['q_2', 'q_3', 'q_4']])
first_model = sm.OLS(ak_data['education'], X_first).fit()

print("\n教育回报估计结果对比:")
print("=" * 60)
print(f"真实回报:     {true_return:.2%}")
print(f"OLS估计:     {ols_return:.2%}  (偏差: {ols_return - true_return:+.3f})")
print(f"2SLS估计:    {iv_model.params['education']:.2%}  (偏差: {iv_model.params['education'] - true_return:+.3f})")
print("=" * 60)
print(f"\n第一阶段回归系数:")
print(f"  q_2: {first_model.params['q_2']:.3f} (vs Q1)")
print(f"  q_3: {first_model.params['q_3']:.3f} (vs Q1)")
print(f"  q_4: {first_model.params['q_4']:.3f} (vs Q1)")
print(f"\n第一阶段F统计量: {first_model.fvalue:.2f}")
print(f"第一阶段R²: {first_model.rsquared:.4f}")
if first_model.fvalue > 10:
    print("✓ 工具变量强度足够 (F > 10)")
else:
    print("⚠ 弱工具变量警告 (F ≤ 10)")

8 工具变量法的局限与拓展

8.1 主要局限

8.1.1 1. 排他性无法检验

工具变量的排他性是一个基于理论的假设，无法直接用数据检验。需要依赖领域知识和定性论证。

8.1.2 2. LATE的外推问题

IV只识别Compliers的效应，Compliers可能只是总体的一小部分。效应能否推广到其他人存在疑问。

8.1.3 3. 弱工具变量风险

如果工具变量太弱，2SLS估计可能有严重偏差，甚至不如OLS。

8.2 多重工具变量

过度识别（Over-identification）

如果有多个工具变量 $Z_1, Z_2, ..., Z_k$ （ $k > 1$ ），可以进行过度识别检验。

Sargan-Hansen检验：

原假设：所有工具变量都满足排他性
如果拒绝原假设：至少有一个工具变量无效
局限：只能检验过度识别的情况（ $k > 1$ ）

好处：

提高第一阶段强度
可以进行过度识别检验
估计更精确

8.3 控制变量的使用

在2SLS中加入外生控制变量：

$Y = \alpha + \beta D + \gamma X + \varepsilon$

第一阶段： $D = \pi_0 + \pi_1 Z + \pi_2 X + \nu$
第二阶段： $Y = \alpha + \beta \hat{D} + \gamma X + \varepsilon$

为什么加入控制变量？

提高估计精度（控制无关变异）
放松排他性假设（ $Z$ 可以通过 $X$ 影响 $Y$ ）
处理异质性（条件LATE）

控制变量的选择

只加入外生控制变量（不受 $D$ 影响）。不要加入可能的中介变量或碰撞变量。

9 总结

9.1 本讲要点

工具变量法原理
- 处理未观测混淆变量的问题
- 利用外生变异识别因果效应
- 两个关键条件：相关性和排他性
2SLS估计
- 第一阶段： $D \sim Z$
- 第二阶段： $Y \sim \hat{D}$
- IV估计量 = 简约式效应 / 第一阶段效应
弱工具变量
- F统计量 < 10时估计不可靠
- 偏差可能接近OLS
- 需要寻找更强的工具变量或使用稳健方法
LATE框架
- 识别Compliers的处理效应
- 单调性假设排除Defiers
- 外推到总体需谨慎

9.2 实践建议

使用工具变量法的检查清单：

明确说明为什么存在内生性问题
论证工具变量满足相关性（报告第一阶段F统计量）
论证工具变量满足排他性（基于理论）
检验弱工具变量问题（F > 10）
报告OLS和2SLS结果对比
解释LATE的含义（谁是Compliers？）
进行稳健性检验（不同样本、不同控制变量）

推荐工具：

linearmodels (Python)：IV2SLS, IVGMM
statsmodels (Python)：基础回归
econml (Python)：更高级的因果推断方法
ivreg (R)：2SLS估计
fixest (R)：快速固定效应和IV

9.3 下一步学习

下一讲将介绍双重差分法（Difference-in-Differences）：

利用面板数据识别因果效应
平行趋势假设
事件研究法
交错DID的新进展

核心思想：

比较处理组和对照组在处理前后的变化：

$\Delta Y_{treatment} - \Delta Y_{control}$

这种方法能够控制不随时间变化的混淆因素。

--- title: "机器学习与因果推断 - 第五讲：工具变量法" subtitle: "处理未观测混淆变量的识别策略：完整讲义" author: "陈志远" institute: "中国人民大学商学院" date: "2026-03-30" format: html: theme: cosmo css: lecture-notes.css html-math-method: mathml toc: true toc-depth: 3 number-sections: true code-fold: false code-tools: true highlight-style: github self-contained: true embed-resources: true page-layout: article execute: echo: true warning: false message: false eval: false cache: false fig-width: 10 fig-height: 6 dpi: 150 lang: zh --- # 引言：当匹配法失效时 {#sec-intro} ## 匹配法的局限 {#sec-matching-limitation} 匹配法的核心假设是**条件可忽略性**： $$D \perp \{Y(0), Y(1)\} | X$$ 这要求所有混淆变量都被观测到。但在实践中，许多重要因素无法观测： - **能力**：认知能力、非认知能力 - **动机**：求职动机、学习动机 - **偏好**：风险偏好、时间偏好 - **信息**：信息获取渠道、网络资源当存在**未观测混淆变量**时，匹配法无法消除选择偏差。 ## 内生性问题的来源 {#sec-endogeneity} 在回归框架下，内生性意味着处理变量与误差项相关： $$Y = \alpha + \beta D + \varepsilon, \quad Cov(D, \varepsilon) \neq 0$$ 造成内生性的三个主要原因： 1. **遗漏变量**：未观测的混淆因素同时影响 $D$ 和 $Y$ 2. **双向因果**：$Y$ 和 $D$ 互相影响（ simultaneity） 3. **测量误差**：$D$ 被错误测量，导致衰减偏误 ## 工具变量的启示 {#sec-iv-insight} **核心问题**：当 $D$ 与 $\varepsilon$ 相关时，OLS 估计有偏且不一致。我们需要一种方法，能够利用 $D$ 中与 $\varepsilon$ 无关的变异部分。 **工具变量法的洞察**：找到一个变量 $Z$，它： 1. 与 $D$ 相关（提供变异） 2. 与 $\varepsilon$ 不相关（外生性） 3. 只通过 $D$ 影响 $Y$（排他性）这样的 $Z$ 提供了 $D$ 中"干净"的变异，使我们能够识别因果效应。 # 工具变量的两个条件 {#sec-two-conditions} ## 条件一：相关性（Relevance） {#sec-relevance} **定义**：工具变量 $Z$ 必须与处理变量 $D$ 相关。 $$Cov(Z, D) \neq 0$$ 这保证了 $Z$ 能够产生足够的变异来"撬动" $D$。 ### 第一阶段回归相关性条件可以通过第一阶段回归来检验： $$D_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \nu_i$$ 其中 $\pi_1$ 是第一阶段系数。我们需要 $\pi_1 \neq 0$。 ### F统计量检验 **Stock & Yogo (2005)** 提出使用第一阶段F统计量检验工具变量强度： $$F = \frac{(R^2_{first}/k)}{(1-R^2_{first})/(n-k-1)}$$ 经验法则：$F > 10$ 表示工具变量足够强。 ## 条件二：排他性（Exclusion Restriction） {#sec-exclusion} **定义**：工具变量 $Z$ 必须满足： $$Cov(Z, \varepsilon) = 0$$ 这意味着 $Z$ 只通过 $D$ 影响 $Y$，没有其他直接或间接路径。 ### 排他性的直观理解排他性约束要求 $Z$ 是一个"奇怪"的变量——它与结果 $Y$ 相关，但**仅仅**是因为它影响了处理 $D$。 **例子**： - 出生季度影响教育年数（通过义务教育法），但不直接影响收入 - 到大学的距离影响上学决策，但不直接影响收入能力 - 抽签号码影响是否入伍，但不直接影响未来收入 ### 排他性无法直接检验 ::: {.callout-warning appearance="simple"} **重要警告** 排他性是一个基于**理论和领域知识**的假设，无法直接用数据检验。研究者需要论证为什么 $Z$ 满足排他性。可能的威胁： - $Z$ 通过其他变量影响 $Y$（违反排他性） - $Z$ 与未观测混淆变量相关（违反外生性） ::: ## 工具变量的因果图 {#sec-iv-dag} ``` Z ──→ D ──→ Y ↑ ↑ └─────┘ U (未观测混淆) ``` 在这个图中： - $U$ 是未观测混淆变量，造成 $D$ 和 $Y$ 的内生关联 - $Z$ 提供了一个外生变异，绕过 $U$ 的影响 - $Z$ 只影响 $Y$ 通过 $D$（没有其他路径） **关键洞察**：工具变量 $Z$ 提供的变异与 $U$ 无关，因此使用 $Z$ 诱导的变异可以消除选择偏差。 # 两阶段最小二乘法（2SLS） {#sec-2sls} ## 2SLS的直观理解 {#sec-2sls-intuition} **基本思想**： 1. **第一阶段**：用 $Z$ 预测 $D$，得到 $D$ 中由 $Z$ 解释的部分 $\hat{D}$ 2. **第二阶段**：用预测的 $\hat{D}$ 代替 $D$ 估计对 $Y$ 的效应 **为什么这样可行？** - $\hat{D}$ 只包含 $D$ 中与 $Z$ 相关的变异 - 由于 $Z$ 是外生的，$\hat{D}$ 也是外生的 - 用 $\hat{D}$ 估计的效应没有内生性偏误 ## 2SLS的数学推导 {#sec-2sls-derivation} ### 第一阶段 $$D_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \nu_i$$ 得到拟合值： $$\hat{D}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i$$ ### 第二阶段 $$Y_i = \alpha + \beta \hat{D}_i + \varepsilon_i$$ ### IV估计量的等价形式可以证明，2SLS估计量等价于Wald估计量： $$\hat{\beta}_{IV} = \frac{Cov(Y, Z)}{Cov(D, Z)} = \frac{\text{简约式效应}}{\text{第一阶段效应}}$$ 这个公式揭示了IV估计的直观含义： - **分子** ($Cov(Y, Z)$)：$Z$ 对 $Y$ 的总效应（简约式） - **分母** ($Cov(D, Z)$)：$Z$ 对 $D$ 的效应（第一阶段） - **比值**：$D$ 对 $Y$ 的因果效应 ## 2SLS估计量的一致性 {#sec-consistency} 在工具变量相关性和排他性条件下： $$\hat{\beta}_{IV} \xrightarrow{p} \beta$$ **证明概要**： $$\begin{aligned} \hat{\beta}_{IV} &= \frac{Cov(Y, Z)}{Cov(D, Z)} \\ &= \frac{Cov(\alpha + \beta D + \varepsilon, Z)}{Cov(D, Z)} \\ &= \beta + \frac{Cov(\varepsilon, Z)}{Cov(D, Z)} \end{aligned}$$ 由于 $Cov(Z, \varepsilon) = 0$（排他性），第二项趋于零，因此 $\hat{\beta}_{IV} \to \beta$。 ## 2SLS与OLS的关系 {#sec-2sls-vs-ols} **重要性质**：当 $Cov(D, \varepsilon) > 0$（正的选择偏差）时： - OLS 估计：$\hat{\beta}_{OLS} = \beta + \frac{Cov(D, \varepsilon)}{Var(D)} > \beta$ - 2SLS 估计：$\hat{\beta}_{IV} \to \beta$（一致）这意味着在有正选择偏差的情况下，OLS 会**高估**处理效应，而2SLS提供了一致的估计。 # 弱工具变量问题 {#sec-weak-instruments} ## 什么是弱工具变量？ {#sec-what-is-weak} **定义**：当工具变量 $Z$ 与处理变量 $D$ 的相关性很弱时，即： $$Cov(Z, D) \approx 0$$ 或第一阶段F统计量很小（$F < 10$）。 ## 弱工具变量的后果 {#sec-weak-consequences} ### 1. 方差增大 IV估计量的方差为： $$Var(\hat{\beta}_{IV}) = \frac{\sigma^2_\varepsilon}{n \cdot Cov(D, Z)^2 / Var(Z)}$$ 当 $Cov(Z, D) \to 0$ 时，$Var(\hat{\beta}_{IV}) \to \infty$。 ### 2. 偏差严重 **Bound, Jaeger & Baker (1995)** 证明： $$E[\hat{\beta}_{2SLS} - \beta] \approx \frac{\sigma_{\varepsilon\nu}}{\sigma_{\nu}^2} \cdot \frac{1}{F + 1}$$ 当 $F \to 0$ 时，偏差趋近于 OLS 偏差！ ### 3. 分布非正态弱工具变量下，2SLS估计量的抽样分布不再是正态分布，基于正态分布的假设检验失效。 ## 弱工具变量的识别与应对 {#sec-weak-solutions} ### 识别弱工具变量 **经验法则** (Stock & Yogo, 2005)： | F统计量 | 解释 | |:---|:---| | $F < 10$ | 弱工具变量警告 | | $F \geq 10$ | 工具变量强度可接受 | | $F \geq 104.7$ | 最大相对偏差 ≤ 10%（1个工具变量） | ### 应对策略 1. **寻找更强的工具变量** 2. **使用弱工具变量稳健方法**： - Anderson-Rubin 检验 - Kleibergen-Paap 统计量 - 条件似然比（CLR）检验 3. **使用LIML**（Limited Information Maximum Likelihood）：比2SLS更稳健 4. **增加样本量**：提高统计功效 # 局部平均处理效应（LATE） {#sec-late} ## 异质性处理效应框架 {#sec-heterogeneous-effects} 当处理效应在不同个体间存在异质性时，我们需要扩展潜在结果框架。 **定义潜在处理变量**： - $D_i(1)$：当 $Z_i = 1$ 时个体 $i$ 的处理状态 - $D_i(0)$：当 $Z_i = 0$ 时个体 $i$ 的处理状态 **四种个体类型** (Imbens & Angrist, 1994)： | 类型 | 定义 | $D_i(1)$ | $D_i(0)$ | 描述 | |:---|:---|:---:|:---:|:---| | **Always-takers** | 总是接受处理 | 1 | 1 | 无论工具变量如何都接受处理 | | **Never-takers** | 从不接受处理 | 0 | 0 | 无论工具变量如何都不接受处理 | | **Compliers** | 依从者 | 1 | 0 | 工具变量=1时接受，工具变量=0时不接受 | | **Defiers** | 违背者 | 0 | 1 | 工具变量=1时不接受，工具变量=0时接受 | ## LATE的定义 {#sec-late-def} **局部平均处理效应 (LATE)** IV估计量识别的是**依从者**（Compliers）的平均处理效应： $$\tau_{LATE} = E[Y_i(1) - Y_i(0) | D_i(1) = 1, D_i(0) = 0]$$ **关键洞察**： - IV估计的不是总体的ATE，而是特定子群体（Compliers）的效应 - 对于Always-takers和Never-takers，我们无法识别其处理效应 - 如果存在Defiers，LATE的解释更复杂（需要单调性假设） ## LATE识别的五个假设 {#sec-late-assumptions} 1. **SUTVA**：没有溢出效应，潜在结果定义良好 2. **随机分配**：$Z$ 与潜在结果独立 3. **排他性**：$Z$ 只通过 $D$ 影响 $Y$ 4. **第一阶段**：$E[D(1) - D(0)] \neq 0$ 5. **单调性**：$D_i(1) \geq D_i(0)$（没有Defiers） **单调性的重要性**： - 确保Compliers的定义明确 - 排除Defiers的存在（否则LATE公式失效） - 在大多数应用中，单调性是合理的 ## LATE的直观例子 {#sec-late-example} **Angrist & Krueger (1991)：出生季度对教育的影响** - **工具变量**：出生季度（由于义务教育法，不同季度出生的人上学年数不同） - **Compliers**：那些因为出生季度而多上一年学的人 - **LATE**：这些Compliers的教育回报 ::: {.callout-note appearance="simple"} **重要局限** "IV估计的是那些因为出生季度而多上一年学的人的效应"——不是对所有人的效应。 Compliers可能是教育回报最高或最低的人，我们无法确定。 ::: # 经典案例与应用 {#sec-applications} ## 案例一：Angrist & Krueger (1991) {#sec-ak91} **研究问题**：教育的因果回报是多少？ **工具变量**：出生季度 - 美国义务教育法要求学生在特定年龄入学 - 不同季度出生的孩子在入学时年龄不同 - 这导致不同季度出生的人平均教育年数略有差异 - 出生季度与能力、动机等无关（排他性） **主要发现**： - OLS估计：约7.1% - 2SLS估计：约8.9% **解读**：教育回报略高于OLS估计，可能说明OLS低估了教育回报（能力偏差为负），或者Compliers的教育回报确实更高。 ## 案例二：Card (1995) - 到大学的距离 {#sec-card95} **研究设计**： - **工具变量**：到最近大学的距离 - **结果**：大学毕业生收入更高 - **发现**：2SLS估计约12.4%，高于OLS的7.1% **为什么距离是好的工具变量？** 1. **相关性**：地理距离影响上学成本（时间、金钱） 2. **排他性**：距离本身不直接影响收入（只通过教育） **LATE解释**：估计的是那些因为离家近而上大学的人的效应。 ## 案例三：Angrist (1990) - 越南战争抽签 {#sec-angrist90} **研究设计**： - **背景**：越南战争期间，美国通过抽签决定谁入伍 - **工具变量**：抽签号码（随机分配） - **处理变量**：是否服兵役 - **结果变量**：后来的收入 **为什么抽签是好的工具变量？** 1. **相关性**：低号码更可能被征召入伍 2. **排他性**：抽签号码完全随机，与能力、健康等无关 **发现**：服兵役导致收入下降约15%。 ## 案例四：Cunningham & Finlay (2012) {#sec-cf12} **研究问题**：甲基苯丙胺（冰毒）使用对寄养儿童数量的影响 **工具变量**：甲基苯丙胺前体化学品的价格冲击 **发现**： - 冰毒入院率增加10% → 寄养儿童数量增加约15% - 说明药物滥用对家庭破裂有显著因果效应 # Python实现：2SLS估计 {#sec-python-implementation} ## 基础模拟：工具变量有效性 {#sec-basic-simulation} ```python import numpy as np import pandas as pd import statsmodels.api as sm from linearmodels.iv import IV2SLS import matplotlib.pyplot as plt import warnings warnings.filterwarnings('ignore') # 设置中文字体 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Source Han Sans SC', 'Noto Sans CJK SC', 'WenQuanYi Micro Hei', 'SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 设置随机种子 np.random.seed(42) n = 1000 # 生成数据：D是内生的，Z是工具变量 Z = np.random.normal(0, 1, n) # 工具变量（外生） U = np.random.normal(0, 1, n) # 未观测混淆变量 # 第一阶段：D受Z和U影响 D = 0.5 * Z + 0.8 * U + np.random.normal(0, 0.5, n) # 真实因果效应 true_effect = 2.0 # 结果变量：Y受D和U影响（U造成内生性） Y = true_effect * D + 1.5 * U + np.random.normal(0, 0.5, n) # 创建数据框 data = pd.DataFrame({ 'Y': Y, 'D': D, 'Z': Z, 'U': U # 现实中不可观测 }) print(f"样本量: {n}") print(f"真实处理效应: {true_effect}") ``` ## OLS vs 2SLS比较 {#sec-ols-vs-2sls} ```python # OLS估计（有偏，因为忽略了U） X_ols = sm.add_constant(data['D']) model_ols = sm.OLS(data['Y'], X_ols).fit() ols_est = model_ols.params['D'] # 2SLS估计（使用Z作为工具变量） # 注意：linearmodels需要显式添加常数项 iv_model = IV2SLS( dependent=data['Y'], exog=pd.DataFrame({'const': np.ones(n)}), endog=data['D'], instruments=data['Z'] ).fit() iv_est = iv_model.params['D'] # 手动计算2SLS（验证） # 第一阶段 X_first = sm.add_constant(data['Z']) model_first = sm.OLS(data['D'], X_first).fit() data['D_hat'] = model_first.predict(X_first) # 第二阶段 X_second = sm.add_constant(data['D_hat']) model_second = sm.OLS(data['Y'], X_second).fit() iv_est_manual = model_second.params['D_hat'] print("\n估计结果对比:") print("=" * 50) print(f"真实效应: {true_effect:.3f}") print(f"OLS估计: {ols_est:.3f} (偏差: {ols_est - true_effect:.3f})") print(f"2SLS估计: {iv_est:.3f} (偏差: {iv_est - true_effect:.3f})") print(f"手动2SLS: {iv_est_manual:.3f} (偏差: {iv_est_manual - true_effect:.3f})") print("=" * 50) ``` ## 第一阶段诊断 {#sec-first-stage} ```python # 第一阶段回归结果 print("\n第一阶段回归结果:") print("=" * 50) print(f"Z的系数: {model_first.params['Z']:.4f}") print(f"标准误: {model_first.bse['Z']:.4f}") print(f"t统计量: {model_first.tvalues['Z']:.4f}") print(f"R-squared: {model_first.rsquared:.4f}") # 计算F统计量 f_stat = (model_first.params['Z'] / model_first.bse['Z']) ** 2 print(f"F统计量: {f_stat:.2f}") if f_stat > 10: print("✓ 工具变量强度足够 (F > 10)") else: print("⚠ 弱工具变量警告 (F ≤ 10)") ``` ## 弱工具变量模拟 {#sec-weak-iv-sim} ```python # 模拟不同工具变量强度下的表现 np.random.seed(42) n = 500 results = [] for pi1 in [0.05, 0.1, 0.3, 0.5, 1.0]: # 不同的第一阶段系数 temp_results = {'pi1': pi1, 'f_stats': [], 'iv_biases': [], 'ols_biases': []} for _ in range(200): # 200次模拟 Z = np.random.normal(0, 1, n) U = np.random.normal(0, 1, n) D = pi1 * Z + 0.8 * U + np.random.normal(0, 0.5, n) Y = 2.0 * D + 1.5 * U + np.random.normal(0, 0.5, n) # OLS X_ols = sm.add_constant(D) ols_est = sm.OLS(Y, X_ols).fit().params[1] # IV X_first = sm.add_constant(Z) first_stage = sm.OLS(D, X_first).fit() f_stat = (first_stage.params[1] / first_stage.bse[1]) ** 2 D_hat = first_stage.predict(X_first) X_second = sm.add_constant(D_hat) iv_est = sm.OLS(Y, X_second).fit().params[1] temp_results['f_stats'].append(f_stat) temp_results['iv_biases'].append(iv_est - 2.0) temp_results['ols_biases'].append(ols_est - 2.0) results.append({ '第一阶段系数': pi1, '平均F统计量': np.mean(temp_results['f_stats']), 'IV平均偏差': np.mean(temp_results['iv_biases']), 'OLS平均偏差': np.mean(temp_results['ols_biases']) }) results_df = pd.DataFrame(results) print("\n弱工具变量模拟结果:") print("=" * 70) print(results_df.to_string(index=False, float_format='%.3f')) ``` ## Angrist & Krueger (1991)模拟 {#sec-ak91-simulation} ```python # 改进的Angrist & Krueger (1991)模拟 np.random.seed(42) n = 5000 # 出生季度（1-4，均匀分布） quarter = np.random.choice([1, 2, 3, 4], n) # 能力（不可观测，与教育相关） ability = np.random.normal(0, 1, n) # 教育年数：受出生季度和能力影响 # 义务教育法导致不同季度出生的人教育年数有系统性差异 # 第四季度出生的人入学时年龄较小，被迫多上一年学 # 第一季度出生的人入学时年龄较大，可以早一年退学 quarter_effect = np.where(quarter == 1, -0.3, np.where(quarter == 4, 0.3, 0)) education = 12 + quarter_effect + 0.4 * ability + np.random.normal(0, 1.0, n) # 真实教育回报（对数收入） true_return = 0.08 # 对数收入（周收入） log_earnings = 5 + true_return * education + 0.15 * ability + np.random.normal(0, 0.35, n) # 创建数据 ak_data = pd.DataFrame({ 'log_earnings': log_earnings, 'education': education, 'quarter': quarter, 'ability': ability # 现实中不可观测 }) print("Angrist & Krueger (1991)模拟数据:") print("=" * 50) print(f"样本量: {n}") print(f"各季度样本量:") print(ak_data['quarter'].value_counts().sort_index()) print(f"\n平均教育年数（按季度）:") print(ak_data.groupby('quarter')['education'].mean().round(3)) # OLS估计 X_ols = sm.add_constant(ak_data['education']) ols_model = sm.OLS(ak_data['log_earnings'], X_ols).fit() ols_return = ols_model.params['education'] # 2SLS估计（使用出生季度作为工具变量） # 创建季度虚拟变量 quarter_dummies = pd.get_dummies(ak_data['quarter'], prefix='q', drop_first=True) ak_data = pd.concat([ak_data, quarter_dummies], axis=1) # 使用linearmodels（显式添加常数项） iv_model = IV2SLS( dependent=ak_data['log_earnings'], exog=pd.DataFrame({'const': np.ones(n)}), endog=ak_data['education'], instruments=ak_data[['q_2', 'q_3', 'q_4']] ).fit() # 第一阶段结果 X_first = sm.add_constant(ak_data[['q_2', 'q_3', 'q_4']]) first_model = sm.OLS(ak_data['education'], X_first).fit() print("\n教育回报估计结果对比:") print("=" * 60) print(f"真实回报: {true_return:.2%}") print(f"OLS估计: {ols_return:.2%} (偏差: {ols_return - true_return:+.3f})") print(f"2SLS估计: {iv_model.params['education']:.2%} (偏差: {iv_model.params['education'] - true_return:+.3f})") print("=" * 60) print(f"\n第一阶段回归系数:") print(f" q_2: {first_model.params['q_2']:.3f} (vs Q1)") print(f" q_3: {first_model.params['q_3']:.3f} (vs Q1)") print(f" q_4: {first_model.params['q_4']:.3f} (vs Q1)") print(f"\n第一阶段F统计量: {first_model.fvalue:.2f}") print(f"第一阶段R²: {first_model.rsquared:.4f}") if first_model.fvalue > 10: print("✓ 工具变量强度足够 (F > 10)") else: print("⚠ 弱工具变量警告 (F ≤ 10)") ``` # 工具变量法的局限与拓展 {#sec-limitations} ## 主要局限 {#sec-main-limitations} ### 1. 排他性无法检验工具变量的排他性是一个基于理论的假设，无法直接用数据检验。需要依赖领域知识和定性论证。 ### 2. LATE的外推问题 IV只识别Compliers的效应，Compliers可能只是总体的一小部分。效应能否推广到其他人存在疑问。 ### 3. 弱工具变量风险如果工具变量太弱，2SLS估计可能有严重偏差，甚至不如OLS。 ## 多重工具变量 {#sec-multiple-iv} **过度识别（Over-identification）** 如果有多个工具变量 $Z_1, Z_2, ..., Z_k$（$k > 1$），可以进行过度识别检验。 **Sargan-Hansen检验**： - 原假设：所有工具变量都满足排他性 - 如果拒绝原假设：至少有一个工具变量无效 - 局限：只能检验过度识别的情况（$k > 1$） **好处**： - 提高第一阶段强度 - 可以进行过度识别检验 - 估计更精确 ## 控制变量的使用 {#sec-control-variables} **在2SLS中加入外生控制变量**： $$Y = \alpha + \beta D + \gamma X + \varepsilon$$ - 第一阶段：$D = \pi_0 + \pi_1 Z + \pi_2 X + \nu$ - 第二阶段：$Y = \alpha + \beta \hat{D} + \gamma X + \varepsilon$ **为什么加入控制变量？** 1. 提高估计精度（控制无关变异） 2. 放松排他性假设（$Z$ 可以通过 $X$ 影响 $Y$） 3. 处理异质性（条件LATE） ::: {.callout-tip appearance="simple"} **控制变量的选择** 只加入**外生**控制变量（不受 $D$ 影响）。不要加入可能的中介变量或碰撞变量。 ::: # 总结 {#sec-summary} ## 本讲要点 {#sec-key-points} 1. **工具变量法原理** - 处理未观测混淆变量的问题 - 利用外生变异识别因果效应 - 两个关键条件：相关性和排他性 2. **2SLS估计** - 第一阶段：$D \sim Z$ - 第二阶段：$Y \sim \hat{D}$ - IV估计量 = 简约式效应 / 第一阶段效应 3. **弱工具变量** - F统计量 < 10时估计不可靠 - 偏差可能接近OLS - 需要寻找更强的工具变量或使用稳健方法 4. **LATE框架** - 识别Compliers的处理效应 - 单调性假设排除Defiers - 外推到总体需谨慎 ## 实践建议 {#sec-practical-advice} **使用工具变量法的检查清单**： - [ ] 明确说明为什么存在内生性问题 - [ ] 论证工具变量满足相关性（报告第一阶段F统计量） - [ ] 论证工具变量满足排他性（基于理论） - [ ] 检验弱工具变量问题（F > 10） - [ ] 报告OLS和2SLS结果对比 - [ ] 解释LATE的含义（谁是Compliers？） - [ ] 进行稳健性检验（不同样本、不同控制变量） **推荐工具**： - **linearmodels** (Python)：IV2SLS, IVGMM - **statsmodels** (Python)：基础回归 - **econml** (Python)：更高级的因果推断方法 - **ivreg** (R)：2SLS估计 - **fixest** (R)：快速固定效应和IV ## 下一步学习 {#sec-next-steps} 下一讲将介绍**双重差分法（Difference-in-Differences）**： - 利用面板数据识别因果效应 - 平行趋势假设 - 事件研究法 - 交错DID的新进展 **核心思想**：比较处理组和对照组在处理前后的变化： $$\Delta Y_{treatment} - \Delta Y_{control}$$ 这种方法能够控制不随时间变化的混淆因素。