第 7 周：结构估计应用——需求、均衡、反事实与人工智能辅助工作流
中国人民大学商学院
2026-06-12
结构估计基础
本节课的问题
估计出偏好和成本后，如何回答“如果政策或市场结构改变，会发生什么”？
五个应用模块
需求系统是很多结构研究的入口
核心任务：从消费者选择中恢复偏好参数，并用这些参数预测新情景。
消费者 i 对产品 j 的效用：
u_{ij} = \delta_j + \mu_{ij} + \varepsilon_{ij}
其中
\delta_j = x_j\beta - \alpha p_j + \xi_j
三层异质性
需求估计的核心挑战
价格和销量数据是需求与供给_同时决定_的均衡结果——我们看不到需求曲线本身。
考虑单产品需求：\ln(Q_{jt}) = \alpha \ln(P_{jt}) + X_{jt}\beta + \xi_{jt}
需求冲击 \xi_{jt} \uparrow → 需求右移 → 均衡量↑ → 均衡价格↑
结果：E[\xi_{jt} \cdot P_{jt}] > 0，OLS 的 \alpha 向上偏误（低估价格弹性）。
假设 \xi_{jt} = \rho \ln(P_{jt}) + \epsilon_{jt}，代入需求方程：
\begin{align*} \ln(Q_{jt}) &= \alpha \ln(P_{jt}) + X_{jt}\beta + \rho \ln(P_{jt}) + \epsilon_{jt} \\ &= \underbrace{(\alpha + \rho)}_{\hat{\alpha}}\ln(P_{jt}) + X_{jt}\beta + \epsilon_{jt} \end{align*}
将 \xi_{jt} 表达为数据和参数的函数：
\xi_{jt}(\alpha, \beta) = \ln(Q_{jt}) - \alpha \ln(P_{jt}) - X_{jt}\beta
用工具变量构建矩条件 E[Z_{jt} \cdot \xi_{jt}(\alpha,\beta)] = 0：
\min_{\alpha,\beta} \left\{ \frac{1}{N}\sum_j \xi_j(\alpha,\beta)'Z_j \; W \; \frac{1}{N}\sum_j Z_j'\xi_j(\alpha,\beta) \right\}
提示
单产品 → 多产品
以上是单产品的 IV/GMM 逻辑。在多产品离散选择模型中，内生性问题的结构更复杂，解决思路一脉相承。
| 产品空间方法 | 特征空间方法 | |
|---|---|---|
| 参数数量 | J^2 个交叉价格效应 | 只估计特征偏好参数 |
| 新产品预测 | 无法预测 | 可预测（新产品 = 新特征组合） |
| 替代模式 | 需 CES 等额外假设 | 由特征相似度自然产生 |
本课程聚焦特征空间方法——它是现代结构需求估计的主流范式。
若 \varepsilon_{ij} 服从第一型极值分布（Type-I Extreme Value），其 CDF 为：
F(\varepsilon) = e^{-e^{-\varepsilon}}
关键性质：若 \varepsilon_{ij} \sim_{iid} Type-I EV，则 \max_j\{U_{ij}\} 也服从 Type-I EV， 且选择概率有解析闭式（McFadden, 1973）：
\begin{aligned} P_{ij} &= \Pr(U_{ij} \geq U_{ik}, \forall k) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \prod_{k \neq j} e^{-e^{-(\delta_j - \delta_k + \varepsilon_{ij})}} \cdot e^{-\varepsilon_{ij}} e^{-e^{-\varepsilon_{ij}}} d\varepsilon_{ij} \\ &= \frac{e^{\delta_j}}{\sum_{k=0}^{J} e^{\delta_k}} \end{aligned}
因此市场份额和外部选项份额分别为：
s_j = \frac{e^{\delta_j}}{1+\sum_{k=1}^{J}e^{\delta_k}}, \quad s_0 = \frac{1}{1+\sum_{k=1}^{J}e^{\delta_k}}
取 \ln(s_j) - \ln(s_0)，消去分母：
\ln(s_j) - \ln(s_0) = \delta_j = x_j\beta - \alpha p_j + \xi_j
提示
美妙的性质
取对数比后，Logit 模型变成线性方程！左边是数据（从市场份额计算），右边是参数。
在 Stata 中可直接用 logit 命令估计（假设价格外生）。
当价格内生时，利用 Logit 的解析结构：
\xi_j = \ln(s_j) - \ln(s_0) - (x_j\beta - \alpha p_j)
估计策略： 1. 从数据计算 \ln(s_j) - \ln(s_0) 作为因变量 2. 用工具变量 Z_j 构建矩条件 E[Z_j \cdot \xi_j(\alpha,\beta)] = 0 3. GMM 同时估计 \alpha 和 \beta
优点：Logit 结构将非线性份额方程转化为线性矩条件。 局限：仍受制于 IIA——所有产品之间的替代模式完全相同。
逻辑选择模型隐含：
\frac{s_j}{s_k} = \frac{\exp(\delta_j)}{\exp(\delta_k)}
这个比值不受其他产品影响。
红巴士 / 蓝巴士问题
如果新加入一个“蓝巴士”，标准逻辑选择模型会让它从所有产品按比例抢份额，而不是主要从“红巴士”抢份额。这会扭曲合并模拟和新产品预测。
核心思想
将产品分成若干”巢”（nest），假设 IIA 在巢内成立，但不同巢之间的替代可以有不同强度。
例如：出行方式 → {自驾, 拼车} + {公交, 地铁}
将 J 个产品分入 K 个互斥的巢 B_1, \ldots, B_K。随机项 \varepsilon_{ij} 的联合 CDF 为：
F(\varepsilon) = \exp\left[-\sum_{k=1}^K \left(\sum_{j \in B_k} e^{-\varepsilon_{ij}/\lambda_k}\right)^{\lambda_k}\right]
产品 j \in B_k 的选择概率：
P_{ij} = \frac{e^{\delta_{ij}/\lambda_k} \cdot \left(\sum_{\ell \in B_k} e^{\delta_{i\ell}/\lambda_k}\right)^{\lambda_k-1}} {\sum_{m=1}^K \left(\sum_{\ell \in B_m} e^{\delta_{i\ell}/\lambda_m}\right)^{\lambda_m}}
局限
巢的划分是事先指定的（ex-ante），需要研究者的领域知识。划分不当则结果有误导性。能否让数据_自己告诉我们_替代模式？→ 随机系数模型
随机系数模型允许价格敏感度或特征偏好因人而异：
u_{ij} = x_j\beta_i - \alpha_i p_j + \xi_j + \varepsilon_{ij}
例如
\alpha_i = \alpha + \sigma_\alpha v_i
为什么有用
替代关系来自消费者异质性：价格敏感消费者在低价产品之间替代，质量敏感消费者在高质量产品之间替代。
随机系数下没有简单闭式聚合：
s_j(\theta) = \int \frac{\exp(\delta_j+\mu_{ij})} {1+\sum_k\exp(\delta_k+\mu_{ik})} dF(v_i)
用 R 个模拟消费者近似：
\hat{s}_j(\theta) = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \frac{\exp(\delta_j+\mu_{rj})} {1+\sum_k\exp(\delta_k+\mu_{rk})}
目标
估计参数 \theta = (\alpha, \beta, \Pi, \Sigma)，使模型预测的市场份额匹配实际数据。关键是——只有非线性参数 \theta_2 = (\Pi, \Sigma) 需要数值搜索，线性参数 (\alpha, \beta) 有解析解。
| 步骤 | 做什么 | 输入 → 输出 |
|---|---|---|
| Step 1 | 固定 \theta_2，用压缩映射求 \delta | s^{data} = s(\delta; \theta_2) \Rightarrow \delta(\theta_2) |
| Step 2 | 用 \delta 做 IV 回归，得 \xi | \delta = X\beta - \alpha p + \xi \Rightarrow \xi(\theta_2) |
| Step 3 | 计算 GMM 目标，搜索 \theta_2 | \min_{\theta_2} \xi'Z W Z'\xi |
消费者 i 选择产品 j 的概率（Logit 核 + 随机系数）：
delta：当前平均效用猜测值（J \times 1）draws.v：ns 个模拟消费者的随机偏好抽取draws.w：积分权重Berry (1994) 证明了如下压缩映射（contraction mapping）：
\delta^{h+1} = \delta^{h} + \ln(s^{data}) - \ln(s(\delta^{h}; \theta_2))
提示
SQUAREM 加速（Reynaerts, Varadhan & Nash, 2012）
利用平方多项式外推，保持全局收敛性。每个市场独立求解，可并行计算（parfor）。
得到 \delta(\theta_2) 后，\xi 就是 IV 回归的残差：
\delta_{jt}(\theta_2) = x_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}(\theta_2)
两步 GMM：
第一阶段：W_1 = (Z'Z)^{-1}，得到一致但不有效的初值
第二阶段：\hat{W}_{opt} = (Z'\hat{\xi}\hat{\xi}'Z)^{-1}，得到有效估计
%% BLP 需求估计主程序（基于 Nevo 2000 谷物数据）
% 1. 加载数据和工具变量
load cereal_data.mat;
% 2. 设定模拟消费者（ns=500, K 个随机偏好维度）
draws.v = randn(ns, K);
draws.w = ones(ns, 1) / ns;
% 3. 第一步 GMM：一致估计
theta0 = zeros(n_theta, 1);
W1 = (Z' * Z) \ eye(size(Z,2));
[results1] = get_results(dtable, theta0);
% 4. 构建最优权重矩阵
[W_opt, ~] = getCovariance(results1.theta, dtable, draws);
% 5. 第二步 GMM：有效估计
[results2] = get_results(dtable, results1.theta);
% 6. 输出：价格系数 α、特征偏好 β、随机系数 σ
fprintf('价格系数 = %.3f (SE=%.3f)\n', results2.beta(end), results2.SE(end));提示
学生实操建议
从玩具案例开始（3-5 个产品、50 个模拟消费者），理解每步的输入输出后，再扩展到完整数据（如 Nevo 2000 谷物数据）。
自价格弹性：
\epsilon_{jj} = \frac{\partial s_j}{\partial p_j} \frac{p_j}{s_j}
交叉价格弹性：
\epsilon_{jk} = \frac{\partial s_j}{\partial p_k} \frac{p_k}{s_j}
经济含义
弹性矩阵告诉我们：当某个产品涨价，需求从哪里流走，又流向哪里。
标准逻辑选择模型下：
\frac{\partial s_j}{\partial p_k} = \alpha s_j s_k \quad (j\neq k)
交叉替代主要由产品 k 的份额决定。
反事实风险
如果现实中的替代发生在“相似产品”之间，而模型只按份额分配替代，合并模拟会系统性失真。
假设单产品企业进行伯特兰价格竞争：
\max_{p_j} (p_j-mc_j)M s_j(p)
一阶条件：
s_j(p) + (p_j-mc_j)\frac{\partial s_j}{\partial p_j} =0
因此
mc_j = p_j + \frac{s_j(p)} {\partial s_j(p)/\partial p_j}
若企业 f 拥有多个产品，定价一阶条件写成矩阵形式：
\mathbf{s}(p) + \Delta(p)(p-mc)=0
其中 \Delta_{jk} 取决于产品 j,k 是否属于同一企业：
\Delta_{jk} = \mathbb{1}\{j,k \in \mathcal{J}_f\} \frac{\partial s_k}{\partial p_j}
mc = p + \Delta(p)^{-1}\mathbf{s}(p)
三步
合并后的价格满足：
\mathbf{s}(p^{new};\hat{\theta}_D) + \Delta^{new}(p^{new})(p^{new}-\widehat{mc}) =0
def demand_shares(price, theta):
delta = theta["beta"] _ x - theta["alpha"] _ price + xi
exp_delta = np.exp(delta)
return exp_delta / (1 + exp_delta.sum())
def pricing_residual(price, mc, ownership, theta):
s = demand_shares(price, theta)
deriv = demand_derivative(price, theta)
Delta = ownership * deriv.T
return s + Delta @ (price - mc)
price_new = solve_root(
lambda p: pricing_residual(p, mc_hat, ownership_after, theta_hat),
price_before
)企业 i 是否进入市场：
a_i = \mathbb{1}\{\pi_i(a_{-i},X;\theta)+\varepsilon_i \geq 0\}
均衡要求每个企业的进入决策都是最优反应。
识别问题
我们观察到进入结果，但看不到每家企业的进入成本、私人信息和未实现反事实利润。
古诺双寡头中，企业选择产量：
\max_{q_i} P(q_i+q_{-i})q_i - C_i(q_i)
均衡由两个一阶条件同时决定：
f_i(q) = P(Q) + P'(Q)q_i - C_i'(q_i) =0
这就是 W6 中非线性方程求解的直接应用。
传统引力方程：
x_{ij} = \alpha + \alpha_1 y_i + \alpha_2 y_j + \theta d_{ij} + \gamma \delta_{ij} + \epsilon_{ij}
Anderson-van Wincoop 的结构逻辑：
x_{ij} = \frac{y_i y_j}{y^W} \left( \frac{t_{ij}}{P_iP_j} \right)^{1-\sigma}
多边阻力
贸易流取决于 i,j 之间的贸易成本，也取决于它们面对所有其他伙伴的贸易成本。
若关税下降改变 t_{ij}，不能只替换一个回归变量。
需要重新求解：
P_j^{1-\sigma} = \sum_i P_i^{\sigma-1}\theta_i t_{ij}^{1-\sigma}
再计算新的贸易流：
x_{ij}^{new} = \frac{y_i y_j}{y^W} \left( \frac{t_{ij}^{new}}{P_i^{new}P_j^{new}} \right)^{1-\sigma}
| 同一问题 | 减少形式做法 | 结构做法 |
|---|---|---|
| 关税下降 | 估计关税对贸易流的平均影响 | 改变贸易成本并求解新均衡 |
| 平台补贴 | DiD 估计补贴对交易量影响 | 模拟两边市场价格和参与 |
| 合并 | 研究既有合并案例 | 改变所有权矩阵并解新价格 |
| 新产品 | 找类似历史进入事件 | 加入选择集并重新聚合需求 |
互补而非替代
减少形式结果常用于验证结构模型；结构模型用于外推到未发生的政策情景。
高收益环节
scipy.optimize 中不同求解器的失败模式人工智能最适合做“工程加速器”，不适合做“经济假设裁判”。
每次结构估计都要留下这些记录
提示
好提示的结构
说明模型、输入形状、输出形状、数值稳定要求和要通过的单元测试。
本周带走的东西
期末项目建议：如果你的问题涉及“未发生的政策情景”，请认真考虑是否需要结构模型。