经济与商务实证研究方法

第 6 周：结构估计基础——模型、识别、仿真与数值方法

陈志远

中国人民大学商学院

2026-05-29

上节课回顾

从因果机器学习到结构估计

  • 因果机器学习帮助我们在高维数据中估计处理效应、异质性和正交化目标
  • 结构估计进一步追问：这些行为来自什么决策系统？
  • 当政策改变价格、选择集、均衡或外部环境时，简约形式估计往往不够

本节课的问题

如果明天把价格、补贴、关税或竞争格局改掉，我们如何预测一个从未发生过的世界？

本讲路线图

六个模块

  1. 为什么结构估计：从政策效应到反事实系统
  2. 结构模型的零件：原语、选择、均衡、观测量与扰动
  3. 先模拟、后估计：用逻辑选择需求模型看估计器在恢复什么
  4. 估计准则：NLS、MLE、GMM、SMM 的共同语言
  5. 数值基础：梯度、雅可比矩阵、固定点、蒙特卡洛模拟
  6. 嵌套固定点：结构估计中的内外循环

提示

学习策略

结构估计不是先背公式。先能模拟一个模型，再问“哪些参数能被数据恢复”，最后才写估计器。

一、为什么结构估计

简约形式与结构方法的分工

问题 简约形式方法 结构方法
已发生政策的平均效应 DiD、IV、RD、RCT 可作为模型验证对象
新政策或新价格 难以外推 通过模型原语模拟
均衡反馈 通常不显式建模 价格、进入、份额一起变化
福利与分配 需要额外假设 从效用、成本、利润推出

关键边界

结构估计更强，不是因为它“更高级”，而是因为它承担了更多模型假设。

结构估计回答什么问题？

典型问题

  • 如果两个平台合并，价格会涨多少，消费者剩余会变多少？
  • 如果降低进口关税，贸易流、价格指数和福利如何变化？
  • 如果给企业研发补贴，进入、退出和投资路径会怎样变化？
  • 如果新增一个产品，现有产品的市场份额从哪里流失？

这些问题共同要求我们描述一个系统：

\text{原语} \rightarrow \text{个体决策} \rightarrow \text{市场均衡} \rightarrow \text{观测数据}

一个结构模型由什么组成？

四类对象

  • 原语：偏好、技术、成本、信息、约束、冲击分布
  • 决策规则：消费者选择、企业定价、进入退出、投资
  • 均衡条件：市场出清、最优反应一致、固定点
  • 观测方程：数据中看到的价格、份额、销量、利润、交易流

结构参数 \theta 通常不是直接观测的，而是通过行为约束被间接识别：

m_{\text{data}} \approx m_{\text{model}}(\theta)

一个极简需求模型

消费者 i 在市场 t 中选择产品 j：

u_{ijt} = \delta_{jt} + \varepsilon_{ijt}

其中

\delta_{jt} = x_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}

经济含义

  • \alpha：价格敏感度
  • \beta：消费者对产品特征的平均偏好
  • \xi_{jt}：研究者看不见、消费者看得见的产品质量
  • \varepsilon_{ijt}：个体层面的特异性偏好冲击

价格内生性为何自然出现？

企业观察到 \xi_{jt}，研究者没有观察到：

\xi_{jt} \uparrow \Rightarrow \text{需求提高} \Rightarrow \text{企业提高价格} \Rightarrow E[p_{jt}\xi_{jt}] > 0

需求估计的基本陷阱

如果直接回归 \log q_{jt} 对价格，价格系数可能被需求冲击污染。结构模型没有绕过内生性；它只是让我们更明确地写出内生性从哪里来。

二、先模拟，再估计

为什么先模拟？

模拟的三重作用

  1. 理解模型：给定参数，模型会生成什么样的数据？
  2. 理解识别：哪些数据变化对哪些参数敏感？
  3. 调试估计器：在已知真值的世界里，估计器能否找回真值？

蒙特卡洛模拟的基本句式：

\theta_0 \rightarrow \text{模拟数据} \rightarrow \hat{\theta} \rightarrow \text{比较 } \hat{\theta} \text{ 与 } \theta_0

模拟一个简单逻辑选择市场

J = 8
alpha = 1.4
beta = 0.8

x = np.linspace(0.2, 2.0, J)
price = 1.0 + 0.5 * x + np.random.normal(0, 0.08, J)
xi = np.random.normal(0, 0.15, J)

delta = beta * x - alpha * price + xi
exp_delta = np.exp(delta)
shares = exp_delta / (1 + exp_delta.sum())
outside = 1 - shares.sum()

pd.DataFrame({"x": x, "price": price, "share": shares}).round(3)
x price share
0 0.200 1.140 0.076
1 0.457 1.218 0.098
2 0.714 1.409 0.079
3 0.971 1.608 0.073
4 1.229 1.596 0.102
5 1.486 1.724 0.076
6 1.743 1.998 0.065
7 2.000 2.061 0.087

逻辑选择份额的可视化

提示

课堂检查

如果 \alpha 变大，价格高的产品份额应当下降；如果 \beta 变大，特征 x 高的产品份额应当上升。模拟先帮我们确认模型方向。

从模拟到估计：反演平均效用

逻辑选择模型有一个漂亮的反演：

\log s_j - \log s_0 = \delta_j

代入 \delta_j = x_j\beta - \alpha p_j + \xi_j：

\log s_j - \log s_0 = x_j\beta - \alpha p_j + \xi_j

这一步的含义

市场份额不是最终答案。份额把消费者选择的结果压缩成一个可回归的平均效用。

课堂上可以把这一步理解为“把市场份额翻译回消费者眼中的产品吸引力”。

识别：参数从哪里来？

识别不是“样本量足够大”

识别要求不同参数对观测数据产生可区分的变化。

参数 主要数据来源 识别威胁
\alpha 价格变化与份额变化 价格与 \xi 相关
\beta 产品特征与份额差异 特征与未观测质量相关
成本参数 价格、份额、竞争一阶条件 定价模型设错
替代模式 份额对价格变化的反应 独立无关替代限制或随机系数设定

结构估计中的“原语优先”

不要从估计器开始

先问经济对象：消费者知道什么？企业观察什么？谁先行动？价格如何形成？哪些冲击被研究者看不见？

模型写清楚后，估计器只是把模型接到数据上的方式：

\hat{\theta} = \arg\min_{\theta} \text{distance}\left(\text{data}, \text{model}(\theta)\right)

三、估计准则

NLS：让预测值贴近数据

若模型给出条件均值：

y_i = h(x_i;\theta) + \varepsilon_i

非线性最小二乘选择

\hat{\theta}_{NLS} = \arg\min_{\theta} \sum_i \left[y_i - h(x_i;\theta)\right]^2

引力模型

Anderson-van Wincoop 引力模型中，贸易流不仅取决于双边贸易成本，还取决于多边阻力项 P_i, P_j。这些价格指数本身由一组固定点方程决定。

MLE：让观测数据最可能出现

若模型给出密度 f(x_i|\theta)，似然函数为

\mathcal{L}(\theta) = \prod_{i=1}^N f(x_i|\theta)

通常最大化对数似然：

\hat{\theta}_{MLE} = \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^N \log f(x_i|\theta)

提示

直觉

MLE 不是“拟合均值”，而是选择一组参数，让我们实际看到的数据路径在模型中最合理。

GMM：让模型矩接近数据矩

若模型推出矩条件：

E[g(Z_i,\theta_0)] = 0

GMM 估计量为

\hat{\theta}_{GMM} = \arg\min_{\theta} \bar{g}(\theta)' W \bar{g}(\theta)

其中

\bar{g}(\theta)=\frac{1}{N}\sum_i g(Z_i,\theta)

SMM：当矩只能模拟出来

Simulated Method of Moments

给定参数 \theta，先模拟数据 \tilde{x}(\theta)，再计算模型矩：

\hat{\theta}_{SMM} = \arg\min_{\theta} \left[\hat{m}_{sim}(\theta)-\hat{m}_{data}\right]' W \left[\hat{m}_{sim}(\theta)-\hat{m}_{data}\right]

常见场景：进入博弈、拍卖、动态选择、带随机系数的需求估计。

四种估计准则的共同骨架

方法 模型给出什么 距离是什么
NLS 条件均值 h(x;\theta) 预测误差平方
MLE 完整概率分布 负对数似然
GMM 可解析矩条件 加权矩偏差
SMM 可模拟矩条件 数据矩与模拟矩距离

共同问题

你选择的距离是否真的惩罚了最能识别参数的模型错误？

四、结构估计的数值基础

非线性方程与固定点

很多结构模型的核心不是回归，而是解方程：

f(x)=0

也常写成固定点形式：

T(x)=x

经济学中的固定点

  • Solow 模型中的稳态资本
  • 古诺模型中的最优反应交点
  • BLP 中的平均效用收缩映射
  • 引力模型中的多边阻力项

牛顿方法

一阶 Taylor 展开：

f(x) \approx f(x^{(k)}) + f'(x^{(k)})(x-x^{(k)})

令近似值为 0，可得更新规则：

x^{(k+1)} = x^{(k)} - [f'(x^{(k)})]^{-1}f(x^{(k)})

牛顿方法的风险

需要好的初值、可逆雅可比矩阵和足够平滑的函数。结构估计里，失败常常来自经济模型不稳定，而不只是代码错误。

数值梯度

一侧差分：

f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

中心差分：

f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}

提示

实践原则

先写解析梯度；写不出时用数值梯度；正式结果前用有限差分检查解析梯度。

固定点迭代

若 T 是压缩映射：

\|T(x)-T(y)\| \leq \beta \|x-y\|,\quad 0<\beta<1

则迭代

x^{(k+1)}=T(x^{(k)})

收敛到唯一固定点。

结构估计中的价值

如果内层问题是压缩映射，我们就有一个稳定、可审计、可重复的求解器。

BLP 收缩映射

随机系数需求估计中，需要找到平均效用 \delta 使预测份额等于观测份额：

s(x,p,\delta;\theta_2)=S

BLP 的更新为

\delta^{h+1}_{\cdot t} = \delta^{h}_{\cdot t} + \log S_{\cdot t} - \log s_{\cdot t}(x_{\cdot t},p_{\cdot t},\delta^{h}_{\cdot t};\theta_2)

这就是“内层固定点”。

蒙特卡洛模拟与模拟误差

模拟积分常写成

\int h(v)dF(v) \approx \frac{1}{R}\sum_{r=1}^R h(v_r)

模拟误差不是抽象问题

如果每次评估目标函数都重新抽样，目标函数会抖动；优化器可能追逐随机噪声。实践中常固定随机抽样，使目标函数对 \theta 更平滑。

五、嵌套固定点

内外循环的基本结构

结构估计常见算法：

  1. 外层给定参数 \theta
  2. 内层解模型均衡或固定点 x^*(\theta)
  3. 用 x^*(\theta) 计算目标函数
  4. 外层优化器更新 \theta

\hat{\theta} = \arg\min_{\theta} Q\left(\theta, x^*(\theta)\right) \quad \text{s.t.} \quad x^*(\theta)=T(x^*(\theta),\theta)

一个结构估计伪代码

def objective(theta, data, draws):
    equilibrium = solve_inner_fixed_point(theta, data, draws)
    model_moments = compute_model_moments(theta, equilibrium, data)
    distance = model_moments - data.moments
    return distance @ W @ distance

theta_hat = minimize(objective, theta0, args=(data, draws))

提示

调试顺序

先调通模拟器，再调通内层求解器，最后调外层优化器。

人工智能能帮什么？

适合交给人工智能加速的任务

  • 把数学目标函数翻译成代码
  • 写有限差分梯度检查
  • 生成求解器日志和收敛诊断图
  • 重构重复代码，减少维度错误
  • 给出多种优化器的实现模板

不能交给人工智能的任务

识别判断、外生性论证、市场边界定义、均衡概念选择、反事实情景是否有经济意义。

本讲总结

三句话

  1. 结构估计把数据解释为经济决策系统的结果
  2. 估计之前先模拟，识别之前先理解模型如何生成数据
  3. 数值方法不是附属工具，而是结构估计能否可信运行的核心部分

下节课：把这些基础工具用于需求估计、合并模拟、进入博弈、引力模型和人工智能辅助结构工作流。